Blog

Yn y blog yma, edrychwn ar yr enghraifft gyntaf erioed ble defnyddiwyd y dull Newton-Raphson...

O gael hafaliad \(y = f(x)\), mae'r dull Newton-Raphson yn defnyddio tangiadau i geisio darganfod gwreiddiau'r hafaliad, sef ble mae \(f(x) = 0\). Mae'r dull yn defnyddio'r berthynas gylchol ganlynol i ffurfio dilyniant rhif sydd, yn aml, yn cydgyfeirio i wreiddyn benodol.

\(x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\)

Mae'r dull yn cael ei enwi ar ôl dau fathemategydd a cafodd eu geni yn yr 17eg ganrif, sef Isaac Newton a Joseph Raphson. Mae Newton yn enwog iawn ym myd mathemateg a gwyddoniaeth, ond pwy oedd Joseph Raphson? Nid oes llawer o wybodaeth ar gael am ei fywyd cynnar, ond rydym yn gwybod ei fod wedi graddio o Brifysgol Caergrawnt yn 1692. Yn ystod ei gyfnod yn y brifysgol, cyhoeddodd y llyfr Analysis Aequationum Universalis, ble ymddangosodd y dechneg ar gyfer y dull Newton-Raphson am y tro cyntaf. (Roedd Newton, yn annibynnol yn 1671, wedi datblygu dull tebyg iawn, ond ni gyhoeddwyd ei waith tan 1736.)

Mae'r enghraifft gyntaf o'r dull Newton-Raphson yn cael ei ddefnyddio yn ymddangos ar dudalen 9 y llyfr:

Mae'r enghraifft yn defnyddio'r dull Newton-Raphson i ddarganfod gwreiddyn positif yr hafaliad \(a^{2}=2\), sy'n cael ei ysgrifennu fel \(aa=2\) yn y llyfr. Gan gofio mai'r berthynas gylchol modern ar gyfer y dull Newton-Raphson yw

\(x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},\)

yn yr enghraifft mae \(f(x_{n}) = x_n^{2} - 2\), ac felly mae \(f'(x_{n}) = 2x_n\). Gan gychwyn efo \(x_0 = 1\), mae

\(x_1 = x_0 - \frac{x_0^{2} - 2}{2 \times x_0}\)

\(x_1 = 1 - \frac{1^2 - 2}{2 \times 1}\)

\(x_1 = 1.5\)

Yna

\(x_2 = x_1 - \frac{x_1^{2} - 2}{2 \times x_1}\)

\(x_2 = 1.5 - \frac{1.5^2 - 2}{2 \times 1.5}\)

\(x_2 = 1.41\dot{6}\)

sy'n cael ei ysgrifennu fel

\(g = 1.417\)

yn y llyfr.

Yna

\(x_3 = x_2 - \frac{x_2^{2} - 2}{2 \times x_2}\)

\(x_3 = 1.41\dot{6} - \frac{1.41\dot{6}^2 - 2}{2 \times 1.41\dot{6}}\)

\(x_3 = 1.414215686\)

i 9 lle degol, sy'n cael ei ysgrifennu fel

\(g = 1.414217\)

yn y llyfr.

Yna, olaf, mae

\(x_4 = x_3 - \frac{x_3^{2} - 2}{2 \times x_3}\)

\(x_4 = 1.414215686 - \frac{1.414215686^2 - 2}{2 \times 1.414215686}\)

\(x_4 = 1.414213562\)

i 9 lle degol, sy'n cael ei ysgrifennu fel

\(a = 1.414213562378\)

yn y llyfr.

Gallwn ddefnyddio'r graff isod i egluro beth sy'n digwydd wrth i ni gydgyfeirio at y gwir gwreiddyn \(\sqrt{2}\):

• Rydym yn ceisio darganfod gwreiddyn positif yr hafaliad \(x^2-2=0\).
• Rydym yn dewis cychwyn yn \(x_0=1\), sydd yn agos at ble mae'r gromlin goch \(y=x^2-2\) yn torri'r echelin-\(x\).
• Rydym yn llunio'r tangiad wyrdd i'r pwynt \((x_0, f(x_0))\) [sef \((1, -1)\)] ar y gromlin goch.
• Mae'r tangiad wyrdd yn torri'r echelin-\(x\) yn y pwynt \(x_1=1.5\).
• Rydym yn llunio'r tangiad las i'r pwynt \((x_1, f(x_1))\) [sef \((1.5, 0.25)\)] ar y gromlin goch.
• Mae'r tangiad las yn torri'r echelin-\(x\) yn y pwynt \(x_2=1.41\dot{6}\).
• Ac yn y blaen...