Cymudedd a threfn gweithrediadau
Mae’r gair “cymudedd” yn ymddangos mewn sawl rhan o’r MDPh Mathemateg a Rhifedd newydd, er enghraifft fel rhan o’r ail ddatganiad “Yr Hyn Sy’n Bwysig”.
Cam Cynnydd 2
“Rwyf wedi archwilio cymudedd mewn perthynas ag adio a lluosi, a gallaf adnabod pan fydd dau fynegiad rhifyddol gwahanol yn disgrifio’r un sefyllfa ond wedi’u hysgrifennu mewn gwahanol ffyrdd.”
Cam Cynnydd 3
“Gallaf adnabod hafaleddau, anhafaleddau a chywerthedd mynegiadau, a hefyd achosion lle y gellir defnyddio cymudedd, dosbarthedd a chysylltiadedd i ddatgan mynegiad syml mewn ffordd wahanol.”
Gall iaith dechnegol megis y gair “cymudedd” arwain at bryderon ynglŷn hygyrchedd y dogfennau cwricwlwm, felly bwriad y blog yma yw archwilio’r syniad o gymudedd a rhoi cymhelliant ar gyfer ei gynnwys yn y cwricwlwm.
Beth yw cymudedd?
Mae cymudedd yn ymwneud â’r ddeddf gymudol, deddf mewn mathemateg sy’n ymwneud â gweithredyddion sy’n rhoi’r un ateb, hyd yn oed os yw trefn y rhifau sy’n cael eu mewnbynnu yn newid. Er enghraifft, mae adio rhifau yn gymudol, fel gellid gweld yn yr enghraifft 4 + 5 = 5 + 4.
Un nod y cwricwlwm newydd yw annog athrawon i ddysgu ar gyfer dealltwriaeth, ac osgoi dibynnu ar driciau. Un tric sy’n cael ei ddefnyddio’n aml yw’r acronym CORLAT (Cromfachau O flaen Rhannu Lluosi Adio Tynnu), acronym sy’n cael ei ddefnyddio i gofio’r drefn gywir ar gyfer defnyddio gweithrediadau. (Mae acronymau eraill, megis BODMAS, BIDMAS a PEMDAS, yn cael eu defnyddio yn yr iaith Saesneg.) Mae camddefnydd (neu weithiau llwyr anymwybyddiaeth!) o CORLAT yn cael ei weld mewn sylwadau i gwestiynau ar rwydweithiau cymdeithasol, fel yr un canlynol.
Yma, ar ôl darganfod bod y cennin Pedr yn 10, bod y ddraig yn 4, a bod y genhinen yn 7, mae angen cyfrifo’r swm
7 + 4 × 10
Camgymeriad
cyffredin yw gweithio o’r chwith i’r dde, gan gyfrifo 7 + 4 yn gyntaf, ac yna
cyfrifo 11 × 10 i adael yr ateb 110. Mae’r ateb cywir yn gofyn i ni wneud y
lluosi yn gyntaf (4 × 10 = 40), ac yna cyfrifo 7 + 40 i gael 47.
Gwelwyd y camsyniad yma mewn rhifyn diweddar o’r cylchgrawn Y Faner. Yn rhifyn 88 gosodwyd “Cwis Sêt y Gornel” gyda phob ateb i fod yn air unigol yn cychwyn gyda’r llythyren “ch”. Cwestiwn 19 oedd y swm canlynol.
22 × 3 + 79 ÷ 29 + 1
O weithio o’r chwith i’r dde, cawn
22 × 3 + 79 ÷ 29 + 1
= 66 + 79 ÷ 29 + 1
= 145 ÷ 29 + 1
= 5 + 1
= 6
sydd yn rhoi’r ateb chwech. Yn fathemategol gywir fodd bynnag, mae’r ateb cywir yn
22 × 3 + 79 ÷ 29 + 1
= 66 + 2.724... + 1
= 69.724...
sydd ddim yn rhoi ateb un gair sy’n cychwyn efo “ch”. Pan gyhoeddwyd yr atebion mewn rhifyn dilynol o’r cylchgrawn, cafwyd y sylw canlynol gan awdur y cwis.
Yn anffodus, mae’r agwedd ffwrdd-â-hi yma tuag at fathemateg yn parhau mewn ambell gornel o Gymru (gweler y blog blaenorol yma am fwy o enghreifftiau).
Felly sut mae trefn gweithrediadau yn cael ei addysgu mewn ysgolion? Rwy’n tybio (ac rwyf wedi bod yn euog o’r dull yma yn y gorffennol) dull cyffredin o gyflwyno trefn gweithrediadau, efallai gan ddefnyddio acronym megis CORLAT, ac yna gofyn i fyfyrwyr gwblhau set o ymarferion, er enghraifft
a) 2 + 3 × 4
b) 9 ÷ 3 + 5
c) 9 – 3 + 4
Mae disgyblion, yn gyffredinol, yn gallu ateb yn gywir set o ymarferion tebyg i’r un uchod, os yw cyflwyniad addas gan athro wedi cymryd lle gynt. Gan ddefnyddio hyfydreddau’r cwricwlwm newydd, gallwn ddweud bod cwblhau’r ymarfer uchod yn gywir yn cychwyn arddangos rhuglder mewn defnyddio trefn gweithrediadau. Ystyriaeth dra wahanol yw ystyried os yw disgyblion efo dealltwriaeth gysyniadol o drefn gweithrediadau? Ar gyfer hyn, rhaid holi os yw disgyblion yn deall pam bod rhaid i weithrediadau gael eu gwneud mewn trefn benodol. Er enghraifft, pam bod rhaid gwneud lluosi cyn adio? Mae’n troi allan bod cymudedd yn helpu egluro hyn.
Gadewch i ni ystyried yr enghraifft adio o gynt,
4 + 5 = 5 + 4
Gallwn gytuno bod bob ochr o’r hafaliad yma efo’r un ateb, sef 9. Trwy ysgrifennu 2 × 2 yn lle’r 4 ar bob ochr o’r hafaliad, cawn yr hafaliad newydd
2 × 2 + 5 = 5 + 2 × 2
Ar gyfer yr ochr chwith, yn gweithio o’r chwith i’r dde, rhaid cyfrifo 2 × 2 yn gyntaf, i gael 4, ac yna cyfrifo 4 + 5 i gael 9. Mae hyn yn cytuno efo’r ateb blaenorol. Ar gyfer yr ochr dde fodd bynnag, gwelwn nad yw gweithio o’r chwith i’r dde’n gweithio, gan fod hyn yn golygu adio 5 a 2 i gychwyn, i gael 7, ac yna cyfrifo 7 × 2 i orffen efo 14. Mae hyn yn amlwg yn wahanol i’r bwriad (9), felly mae gennym gymhelliant i ddweud y dylai lluosi gael blaenoriaeth tros adio. Fel yma, nid yw’r ddeddf gymudol ar gyfer adio’n cael ei dorri.
5 + 2 × 2
= 5 + 4
= 9
Gadewch i ni’n awr ystyried enghraifft arall, y swm lluosi 4 × 5. Gan fod lluosi rhifau’n gymudol, gallwn ysgrifennu
4 × 5 = 5 × 4
Gallwn gytuno bod bob ochr o’r hafaliad yma efo’r un ateb, sef 20. Trwy ysgrifennu 3 + 2 yn lle’r 5 ar bob ochr o’r hafaliad, cawn yr hafaliad newydd
4 × 3 + 2 = 3 + 2 × 4
Wedi penderfynu’n gynt bod lluosi yn derbyn blaenoriaeth tros adio, mae’r ochr chwith yn cael ei gyfrifo fel 12 + 2 = 14, tra bod yr ochr dde yn cael ei gyfrifo fel 3 + 8 = 11. Nid yw’r un o’r rhain yn hafal i 20! Byddai mynnu bod adio’n derbyn blaenoriaeth tros luosi’n trwsio pethau, ond byddai hyn yn gwrth-ddweud ein honiad gynt bod lluosi’n derbyn blaenoriaeth tros adio. Y datrysiad yw cyflwyno pâr o gromfachau, ac ysgrifennu
4 × (3 + 2) = (3 + 2) × 4
Mae bob ochr nawr yn rhoi 20, os ydym yn mynnu bod unrhyw swm mewn cromfachau’n derbyn blaenoriaeth tros unrhyw symiau lluosi neu adio. Fel yma, nid yw’r ddeddf gymudol ar gyfer lluosi’n cael ei dorri.
Crynodeb hyd yma:
Er mwyn diogelu’r ddeddf gymudol ar gyfer adio, rhaid i luosi derbyn blaenoriaeth tros adio.
Er mwyn diogelu’r ddeddf gymudol ar gyfer lluosi, rhaid cyflwyno cromfachau a chyfrifo unrhyw symiau mewn cromfachau’n gyntaf.
Ar y pwynt yma byddai’n addas nodi mai dim ond confensiwn yw trefn gweithrediadau – set o ddewisiadau sydd wedi cael eu gwneud a’u cytuno. Pe bai’r penderfyniad wedi’i wneud bod adio yn derbyn blaenoriaeth tros luosi, yna byddai’n enghraifft lluosi
4 × 3 + 2 = 3 + 2 × 4
yn gweithio’n iawn heb gromfachau, ond byddai’n enghraifft adio
2 × 2 + 5 = 5 + 2 × 2
angen cromfachau i fod yn gywir:
(2 × 2) + 5 = 5 + (2 × 2)
Fel y mae, mae lluosi wedi’i ddewis i dderbyn blaenoriaeth tros adio, am fod angen ysgrifennu llai o gromfachau efo’r confensiwn yma. Er enghraifft, dychmygwch ysgrifennu’r polynomial 6x² + 5x + 4 pe bai adio’n derbyn blaenoriaeth tros luosi; byddai angen ysgrifennu’r polynomial fel (6x²) + (5x) + 4.
Melltith CORLAT
Gall ‘tric’ megis yr acronym CORLAT arwain at lwyddiant yn y byrdymor, ond achosi camsyniadau a phroblemau yn yr hirdymor. Y broblem fwyaf yw bod myfyrwyr yn anghofio’r acronym, ac yn gweithio o’r chwith i’r dde wrth wneud swm fel 2 + 3 × 4. Byddai gwell ddealltwriaeth gysyniadol o drefn gweithrediadau’n lleihau’r siawns o hyn. Gall hyn fod o’r ffurf bod myfyriwr yn adnabod bod 2 + 3 × 4 angen cael yr un ateb â 3 × 4 + 2 (yn defnyddio’r ddeddf gymudol ar gyfer adio). Gall fod o’r ffurf o allu llunio darlun ar gyfer y sefyllfa, a sylweddoli bod (2 + 3) × 4 yn wahanol i 2 + (3 × 4).
Gall hefyd fod o’r ffurf o gael mwy o brofiad o’r math yma o broblem, boed yn fwy o amser yn ei drafod y tro cyntaf yn y dosbarth, neu rhyngddalennu gofalus (careful interleaving) o’r testun mewn gwersi dilynol (wedi’u gwahanu dros ddyddiau, misoedd ac yn y pen draw blynyddoedd).
Problem arall efo CORLAT yw bod rhai myfyrwyr yn credu bod y llythrennau yn yr acronym angen cael eu dilyn yn gaeth, fel bod (er enghraifft) adio angen cael ei wneud cyn tynnu. Fel hyn, wrth wynebu’r swm
9 – 3 + 4
byddai myfyrwyr sy'n dilyn CORLAT yn gaeth yn gwneud 3 + 4 yn gyntaf, i adael 7, ac yna gwneud 9 – 7 i orffen efo 2. Mewn gwirionedd, mae angen cyfrifo symiau adio a thynnu yn gweithio o’r chwith i’r dde. Fel hyn, y ffordd gywir o wneud y swm 9 – 3 + 4 yw
9 – 3 + 4
= 6 + 4
= 10
I ddod i gasgliad, mae rhai termau (megis ‘cymudedd’) wedi eu rhoi yn y cwricwlwm am reswm. Nid ydynt yno i wneud y cwricwlwm yn fwriadol yn llawn o jargon, ond i hyrwyddo trafodaeth ac i annog gwell addysgeg ar lawr dosbarth. Y sialens yn awr, heb amheuaeth, yw sicrhau datblygiad proffesiynol digonol fel gall pob athro ddod yn ymwybodol, a chymryd mantais lawn, o’r cyfleoedd sy’n cael eu darparu gan y cwricwlwm newydd.
Syniadau i'w ceisio ar lawr dosbarth:
- Teipiwch 3 + 4 × 5 ar raglen cyfrifiannell cyfrifiadur Windows. Pam bod yr atebion yn “standard mode” a “scientific mode” yn wahanol?
- A yw’n bosib diddymu’r angen am drefn gweithrediadau os yw digon o gromfachau’n cael eu defnyddio ym mhob cyfrifiad?
- Ceisiwch ddylunio pos (tebyg i’r un cennin Pedr, draig, cenhinen yn y blog yma) i’w gyhoeddi ar rwydweithiau cymdeithasol yr ysgol.